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 作者  doom8199 (∼口卡口卡　修∼)                         看板  Grad-ProbAsk 
 標題  Re: [理工] 97台大電機C 工程數學第五題                                  
 時間  Sun Oct 20 12:39:35 2013                                               
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※ 引述《superdevil (綠惡魔)》之銘言：
: http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/graduate/97/97410.pdf
: 沒答案阿!!!
:                      1
: 積分因子不是應該是------(B的答案)    才對??????
:                    a(x)
: 還是我觀念錯了???????
---

    其實不能怪原po, 是很多書上自己也交代不清楚



<1>

    通常書上一開始會介紹何謂 一階 ode:  y' = H(x,y)

    再來介紹何謂  separable:   y' = H(x,y) = f(x)/g(y)    ____(1)

    一階 ode 若具有 separable 的好處

    在於它能利用簡單的代數變換法求解:

        g(y)*y' = f(x)    =>    dG(y)/dx = f(x)

    只要左右兩邊取積分，並且在一個 2D region R 下是 integrable

    那就能找出它的通解



    這時我們會把  g(y) 稱作是 integrating factor

    因為 (1) 式左右同乘 g(y), 使得 LHS 跟 RHS 都取積分運算符即可求解




<2>
    接著引進 一階線性 ode:   y' + P(x)*y = Q(x)

    我們也希望能透過 找出積分因子 I ，來達到相同的目的:

        Iy' + IPy = IQ    =>    (Iy)' = IQ


-----

    到這裡就會很自然的引進全微分的概念

    亦即假設通解為   F(x,y(x)) = C

                 =>  F_x + (F_y)*y' = 0


    寫成 differential form 就是    (F_x) dx + (F_y) dy = 0

    所以我們將使 ode 稱作  exact


    exact 這一詞本身具有全微分的概念

    ( differental of F is exactly  (F_x) dx + (F_y) dy  )




    至此，就是工數/微方 崩壞的開始

    因為大家只會記得  Mdx + Ndy = 0 是 exact 的必要條件為何

    而 integrating factor I 則是一種會 讓  IM dx + IN dy = 0 是 exact 的存在

    但 exact 的原意是要讓 ode 具備全微分性質

    讓 ode 可以很輕易的求解



    我舉一個補習班或一些工數書上最喜歡提到的一個東西

    就是 二階線性 ode 是 exact 的判別式:


        Py'' + Qy' + Ry = T  is exact  only if   P'' - Q' + R = 0

    因為這個性質可以將 二階線性 ode 改寫成:

        [Py' + (Q - P')y]' = T




    但 補習班/書上 從來不會跟大家提這個:
   『
       若存在 I(x), 使得  IPy'' + IQy' + IRy = IT  為 exact

       則稱 I 為 integrating factor
    』



    可能也不會提這個:
   『
         Py' + Qy = R is exact  only if  P' - Q = 0

            this produces:    (Py)' = R

        I is called integrating factor causing IPy' + IQy = IR is exact
    』




    可能原因是:

            二階線性 ode 的積分因子太難找
           一階線性 ode 已經有公式解可以算，沒必要定義何為 exact
          大家書上都是互相抄來抄去。 越少人提，就越少人抄



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    追根究底，工程數學寫得太隨便了

    所以定義了很多東西，但到最後串聯起來常常出問題

    不然就是知識的教導/使用上,  informal 到令人髮指的地步

    最後我都說服我自己這是工具，用來解決其它問題

    工具如何形成是他人的事情 XD

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.33.166.150
推 gnsh:推 真是長知識了XD 我會認為那判別式為充要是看Kreyszig寫的   10/20 13:04
→ gnsh:我也沒有深究 才會認為是定義不同的問題XD                    10/20 13:05
推 ziizi:推!謝謝d大!                                               10/20 16:10
推 KAINTS:d神手。只有推了！！                                      10/20 17:16

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